Voilà mon idée : Et si on s'était trompé à l'origine dans la définition de la multiplication ? Et si, l'index naturelle de l'unité n'était pas 1 mais "0", c'est à dire l'absence de déplacement en terme d'addition ?

Je m'explique car ça peut paraitre paradoxale :

l'addition resterait définit de la même façon : 0 est l'élément neutre

mais la multiplication changerait radicalement :

(il s'agit simplement de décaler)

L'élément neutre de la multiplication devient 0 .

A) Multiplication

la nouvelle multiplication (notons là **) deviendrait

x**y = ((x+1)*(y+1))-1

x**1 = = x + x +1

x**0 = x

x**-1= -1

x** y = x... " + x "[y fois]. + y

x**x= (x+1)² -1 = x² + 2x

On aurait une loi :

(x**y)+(x**z)=

((x+1)*(y+1))-1 + ((x+1)*(z+1))-1=
(x*y+x+y+1)-1 + (x*z+x+z+1)-1 =
x*y+x*z+ x+y + x+z =
x*y+x*z+ 2*x+y +z =

x*y+x*z+x+y+z + x=
x*(y+z+1)+(y+z+1)-1 +x =
((x+1)*(y+z+1))-1 +x=

= x**(y+z) + x

l'intêret serait que l'opération conserve le nombre de symbole, et qu'on puisse faire glisser les facteurs d'un termes à l'autre .

Une autre loi :

x**(y-y)= x

x**(y-y) +x =x**y + x**y = (x**y) ** 1

l'intêret serait que l'opération conserve le nombre de symbole

(x+x)**y = (x+x+1)*(y+1)-1

= (x+x+1)*(y+1)-1

= (x*(y+1))+(x+1)*(y+1)-1

= x*(y+1)+ x**y

B) Division

y//x= z, tel que x**z =y

((x+1)*(z+1))-1=y

(x+1)*(z+1)=(y+1)

(z+1)=(y+1)/(x+1)

donc :

y//x=((y+1)/(x+1))-1

on a bien

(y//x)**x=((((y+1)/(x+1))-1+1)*(x+1))-1

=(((y+1)/(x+1))*(x+1))-1

=y

Aussi donc on a une parfaite symétrie :

x//x= 0

(x+x)//y = (x+x+1) / (y+1)) -1

(x+x)//y = (x / (y+1)) +(( x+1) / (y+1))-1

(x+x)//y = (x / (y+1)) +x//y

exactement comme

(x+x)**y = (x * (y+1)) +x**y

Autre loi

0//x = (0+1) / (x+1)) -1

= (1/(x+1))-1

et donc

(0//x)**x = ((1/(x+1))-1+1)*(x+1) -1

= (1/(x+1))*(x+1) -1

= 1-1 =0

Autre constatation

x//1 = ((x+1)/(1+1))-1

x//1=(x+1)/2 -1 = x/2 - 1/2

= x - (x/2) - 1 / 2 = x - (x-1)/2

Autre constatation

1//x = ((1+1) / (x+1)) -1

=( 2/ (x+1))-(x+1)/(x+1) = 2-(x+1)/(x+1)= (-x +1)/(x+1)

C) Exposant

x^^ y =x... " ** x "[y fois]. ** y

Donc :

x^^0 = x**0 = x +0 =x

x^^1 = x**x ** 1 = (x² + 2*x +1)*2 -1 = 2x² +4x +2 -1 = 2x²+4x +1

(symétrique avec x**1 = x + x +1 )

x^^-1 = -1

0^^x = x

-1^^x = -1

(symétrique avec x**-1 =-1 )

Nombre premier

Si P(X) = { vrai si il n'existe pas 1<y<x tel que x/y entier)

et P'(X) = { vrai si il n'existe pas 0<y<x tel que x//y entier)

P'(X)=P(X+1)

c'est la suite : 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46,52,58,60,66,70,72,78,82,88,96,100,102,106,108,112,126,130,136,138,148

Remarque :

- chaque nombre "Premier'" peut s'écrire comme la somme de deux plus petits (mais pas réciproquement. )

est ce que ça ne pourrait pas simplifier certaines choses ?